🔢

Tổ Hợp

Toán Học🎓 Lớp 11-12
📖

Định Nghĩa

Tổ hợp học nghiên cứu cách đếm, sắp xếp, chọn phần tử. Hoán vị Pn=n!P_n = n!, chỉnh hợp Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}, tổ hợp Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
📋

Công Thức Quan Trọng

Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}Công thức tổ hợp
(a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^kNhị thức Newton
🧠

Lý Thuyết Chi Tiết

Tổ hợp



1. Quy tắc đếm


  • Quy tắc cộng: k1k_1 HOẶC k2k_2 → k1+k2k_1 + k_2 cách

  • Quy tắc nhân: k1k_1 VÀ k2k_2 → k1×k2k_1 \times k_2 cách


    • 2. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp


  • Pn=n!P_n = n!

  • Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

  • Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}


    • 3. Nhị thức Newton


    (a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k}b^k
    ✏️

    Ví Dụ Minh Hoạ

    Cơ bản
    Chọn 3 bạn từ 10 bạn để lập nhóm. Có bao nhiêu cách?
    👁️ Xem lời giải
    C103=10!3!7!=10×9×86=120C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120
    ⚠️

    Lỗi Thường Gặp

    • ❌ Nhầm tổ hợp với chỉnh hợp: Tổ hợp KHÔNG phân biệt thứ tự
    • ❌ $0! = 1$ chứ KHÔNG phải 0
    ⚡

    Mẹo Giải Nhanh

    • ⚡ Chọn = Tổ hợp (C), Sắp xếp = Chỉnh hợp (A)
    🌍

    Ứng Dụng Thực Tế

    🌍 Xổ số: Xác suất trúng 6/45 = 1/C4561/C_{45}^6
    🌍 Mật khẩu: Số mật khẩu 8 ký tự = chỉnh hợp
    📜

    Lịch Sử & Bối Cảnh

    📜 Pascal (1654) xây dựng tam giác Pascal, mỗi ô = CnkC_n^k. Trước đó 600 năm, Dương Huy (TK 13, Trung Quốc) đã phát hiện tam giác này!

    🏋️ Luyện Tập Ngay

    🧪Bài tập gợi ý

    Thử giải bài tập về Tổ Hợp với AI — được giải từng bước chi tiết: