Xác Suất Cơ Bản — Từ Lý Thuyết Đến Bài Tập

Xác suất là chương trọng tâm trong đề thi THPT Quốc gia và cũng là nền tảng cho Thống kê, Machine Learning, và nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này tổng hợp đầy đủ lý thuyết và bài tập.

1. Khái Niệm Cơ Bản

Không gian mẫu (Ω)

Tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

Ví dụ: Tung xúc xắc → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6

Biến cố (A)

Tập con của không gian mẫu — là tập các kết quả "mong muốn".

Ví dụ: A = "ra mặt chẵn" → A = {2, 4, 6}, |A| = 3

Xác suất

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Điều kiện: Các kết quả phải đồng khả năng (equally likely).

2. Bảng Công Thức Quan Trọng

Công thức	Ý nghĩa
$0 \leq P(A) \leq 1$	Xác suất luôn nằm trong [0, 1]
$P(\Omega) = 1$	Biến cố chắc chắn
$P(\emptyset) = 0$

3. Quy Tắc Đếm

Quy tắc cộng

Nếu công việc có thể thực hiện bằng cách 1 (m cách) HOẶC cách 2 (n cách) → tổng: m + n cách.

Quy tắc nhân

Nếu công việc gồm bước 1 (m cách) VÀ bước 2 (n cách) → tổng: m × n cách.

Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Loại	Công thức	Ý nghĩa
Hoán vị $P_n$	$n!$	Sắp xếp n phần tử
Chỉnh hợp $A_n^k$

💡 Mẹo phân biệt: Thứ tự quan trọng → Chỉnh hợp. Thứ tự không quan trọng → Tổ hợp.

4. Bài Tập Có Lời Giải

Bài 1: Tung xúc xắc

Tung 2 xúc xắc. Tính P(tổng = 7).

Giải:

|Ω| = 6 × 6 = 36

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} → |A| = 6

P(A) = 6/36 = 1/6 ≈ 16.67%

Bài 2: Rút bài

Rút 2 lá từ bộ bài 52 lá. P(cả 2 đều là Ách)?

Giải:

|Ω| =

C_{52}^2 = \frac{52!}{2! \cdot 50!} = 1326

|A| =

C_4^2 = 6

(chọn 2 từ 4 lá Ách)

P(A) = 6/1326 = 1/221 ≈ 0.45%

Bài 3: Biến cố đối ("ít nhất 1")

Tung đồng xu 3 lần. P(ít nhất 1 mặt ngửa)?

Giải (dùng biến cố đối — nhanh hơn nhiều!):

P(\text{0 ngửa}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

P(\text{≥1 ngửa}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 87.5\%

⚡ Mẹo "ít nhất 1": LUÔN dùng biến cố đối! P(≥1) = 1 - P(0)

Bài 4: Quy tắc nhân (độc lập)

Xác suất bắn trúng của A là 0.8, của B là 0.7. Cả hai cùng bắn, P(cả 2 đều trúng)?

Giải:

A, B độc lập

P(cả 2 trúng) = 0.8 × 0.7 = 0.56 = 56%

Bài 5: P(ít nhất 1 trúng)

Cùng dữ liệu bài 4, P(ít nhất 1 người trúng)?

Giải:

P(cả 2 trượt) = (1 - 0.8)(1 - 0.7) = 0.2 × 0.3 = 0.06

P(≥1 trúng) = 1 - 0.06 = 0.94 = 94%

Bài 6: Tổ hợp + Xác suất

Lớp có 30 HS (18 nam, 12 nữ). Chọn ngẫu nhiên 3 HS. P(có đúng 1 nữ)?

Giải:

|Ω| =

C_{30}^3 = 4060

|A| =

C_{12}^1 \times C_{18}^2 = 12 \times 153 = 1836

P(A) = 1836/4060 ≈ 45.2%

Bài 7: Xác suất có điều kiện

Hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Rút lần lượt 2 bi (không hoàn lại). P(bi 2 đỏ | bi 1 đỏ)?

Giải:

Sau khi rút bi 1 đỏ: Còn 4 đỏ + 3 xanh = 7 bi

P(bi 2 đỏ | bi 1 đỏ) = 4/7 ≈ 57.1%

Bài 8: Bayes cơ bản

Nhà máy có 2 máy: Máy I sản xuất 60%, Máy II sản xuất 40%. Tỉ lệ phế phẩm: Máy I = 3%, Máy II = 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 SP bị lỗi. P(do Máy I)?

Giải (Bayes):

P(lỗi) = 0.6 × 0.03 + 0.4 × 0.05 = 0.018 + 0.02 = 0.038

P(Máy I | lỗi) =

\frac{0.6 \times 0.03}{0.038}

\frac{0.018}{0.038}

≈ 47.4%

Bài 9: Nhị thức Newton

Tung đồng xu cân bằng 10 lần. P(đúng 6 mặt ngửa)?

Giải:

P(X = 6) = C_{10}^6 \left(\frac{1}{2}\right)^6 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 210 \cdot \frac{1}{1024} \approx 20.5\%

Bài 10: Bài thi THPT

Đề thi trắc nghiệm 50 câu, mỗi câu 4 đáp án. P(đoán mò đúng ≥ 25 câu)?

Giải: Đây là phân phối nhị thức B(50, 0.25).

Kỳ vọng: E(X) = 50 × 0.25 = 12.5 câu

P(X ≥ 25) ≈ 0.0004 ≈ 0.04% — gần như bất khả thi!

Đoán mò 50 câu trắc nghiệm, xác suất đúng ≥ 25 câu chỉ 0.04%. Hãy học bài 📚!

5 Lỗi Hay Gặp

❌ Cộng XS khi không xung khắc: Quên trừ P(A∩B)

2. ❌ Nhân XS khi không độc lập: P(A∩B) ≠ P(A)·P(B) nếu phụ thuộc

3. ❌ Nhầm Chỉnh hợp - Tổ hợp: Thứ tự quan trọng → Chỉnh hợp!

4. ❌ Tính "ít nhất 1" trực tiếp: Dùng P(≥1) = 1 - P(0) luôn nhanh hơn

5. ❌ Quên kiểm tra đồng khả năng: P = |A|/|Ω| chỉ đúng khi mọi kết quả đồng khả năng

Giải bằng AI

Gặp bài xác suất khó? Nhập vào AhaStep — AI sẽ phân tích từng bước, chỉ ra dùng quy tắc cộng hay nhân, và tính chi tiết.

🧮 Thử ngay: Gõ "Tung 3 con xúc xắc, tính xác suất tổng bằng 10" vào AhaStep!

Xác Suất Cơ Bản — Lý Thuyết, Công Thức Và 10 Bài Tập Có Lời Giải

Xác Suất Cơ Bản — Từ Lý Thuyết Đến Bài Tập

1. Khái Niệm Cơ Bản

Không gian mẫu (Ω)

Biến cố (A)

Xác suất

2. Bảng Công Thức Quan Trọng

3. Quy Tắc Đếm

Quy tắc cộng

Quy tắc nhân

Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

4. Bài Tập Có Lời Giải

Bài 1: Tung xúc xắc

Bài 2: Rút bài

Bài 3: Biến cố đối ("ít nhất 1")

Bài 4: Quy tắc nhân (độc lập)

Bài 5: P(ít nhất 1 trúng)

Bài 6: Tổ hợp + Xác suất

Bài 7: Xác suất có điều kiện

Bài 8: Bayes cơ bản

Bài 9: Nhị thức Newton

Bài 10: Bài thi THPT

5 Lỗi Hay Gặp

Giải bằng AI

📚相关知识